עברית

אנגלית

דף הבית

להבין את תורת היחסות הפרטית

שאלות ותשובות

1.

א. שואל:

 

בהסבר על פרדוקס התאומים; בזמן פניית הפרסה אמור ההפרש בין שעוני כדור הארץ וטראל להשתנות מ-7.5- ל- 7.5 בזמן קצר מבחינתו של בני. האם משמעות הדבר שהפעילות על כדור הארץ מאיצה לקצב אדיר בזמן זה? אם כן, האם אחת ההשלכות אינה שגופים על כדור הארץ  נעים במהירות גדולה ממהירות האור מבחינתו של בני?

 

תשובה:

 

תורת היחסות אומרת שהמהירות היחסית בין שני גופים לא יכולה להיות גדולה ממהירות האור. זה לא אומר שצופה שנמצא במערכת שלישית לא יכול לראות את המהירות ביניהם גדולה ממהירות האור. למשל אם שתי חלליות מתרחקות ממך בכיוונים מנוגדים במהירות 0.8c כל אחת, יחסית למערכת שלך הן מתרחקות אחת מהשנייה במהירות 1.6c למרות שבשל חוק צירוף המהירויות כל אחת מהחלליות תראה את השנייה מתרחקת במהירות שהיא קטנה ממהירות האור. לכן כשאתה אומר שמבחינת בני הגופים על פני כדור הארץ נעים במהירות גדולה ממהירות האור אין כאן בעיה. השאלה היא איך כל אחד מהגופים האלה נע ביחס לבני. תורת היחסות הפרטית עוסקת במערכות אינרטיות ועליהן מוגדרים החוקים שלה. מה שקורה בזמן תאוצה הוא יותר מורכב. למרות שבכל נקודה שנבחר על מסלול התאוצה בחלל-זמן הכללים נשמרים, כאשר מחשבים את האינטגרל על פני תחום, מתקבלים דברים מוזרים. אפשר לשאול גם את השאלה הבאה: כשבני יוצא מכדור הארץ טראל נמצא במרחק 0.866 שנות אור ממנו. זמן קצר אחרי זה, כשהוא גומר להאיץ, הכוכב נמצא כמה שנות אור קרוב יותר אליו. האם טראל התקרב אל בני במהירות הגדולה ממהירות האור? השאלה היא אם אפשר לקרוא להתקרבות הזאת תנועה. שים לב שאם תבדוק את מהירותו של בני ביחס למערכת של כדור הארץ וטראל בכל נקודה במשך התאוצה היא תהיה קטנה מ-c (שיפוע המשיק בדיאגרמת החלל-זמן גדול מ-45 מעלות). בני עובר ברציפות מערכות יחוס בזמן התאוצה. ההתקרבות של טראל אל בני היא לא כתוצאה משינוי מקומו של טראל בחלל ביחס לאיזו ממערכות היחוס האלה, אלא רק בגלל הצטמצמות האורך במעבר ממערכת יחוס אחת לשניה.

 

2.

ק. שואל:

 

יש בכל זאת דבר אחד שמבלבל אותי, לא במאמר שלך אלא באופן כללי. בהתפרצות של סופרנובה, נזרקים חלקי חומר בכל הכיוונים במהירויות יחסותיות גבוהות. האור שנפלט מהם מוסט לאדום או לכחול תלוי בכיוון התנועה של החומר. תצפיות מראות שהאור המוסט לאדום מגיע לכדור הארץ מספר ימים בלבד אחרי האור המוסט לכחול. המרחק בין כדור הארץ לסופרנובה הוא מיליוני שנות אור. האור המוסט לאדום היה אמור להגיע מאות שנים אחרי האור המוסט לכחול משום שלפי תורת היחסות הפרטית (וההסבר שלך) זמני היציאה של האור (כפי שהם נראים לצופה על כדור הארץ) שונים. הם יחסיים ל-gamma * vx/c^2 (כאשר v משתנה נניח בין 0.9c- ל-0.9c). מכיוון שזמני ההגעה של האור הנם למעשה שווים (ימים במקום מאות שנים), למה איינשטיין טוען שהצופה על הרכבת שבתנועה מקבל את שני הבזקי האור בזמנים שונים? אני לא רואה הבדל מהותי בין הסופרנובה לניסוי המחשבתי של הרכבת ואני מניח שניסוי אמיתי רלוונטי יותר מנסוי מחשבתי.

 

תשובה:

 

כידוע לך, סופרנובה הנה תופעה בממדי ענק. חומר נע לכיוון כדור הארץ בחלק של הסופרנובה שקרוב יותר לכדור הארץ. חומר מתרחק מכדור הארץ באזור שרחוק יותר מכדור הארץ. קוטר הסופרנובה הוא זניח יחסית למרחק שלה מכדור הארץ אבל עדיין הוא מרחק משמעותי.

הפרש הזמן בין האור שמגיע מחומר שנע לכיוון כדור הארץ (מוסט לכחול) לבין אור שנע ממנו והלאה (מוסט לאדום) מושפע משני דברים: הדרך הארוכה יותר שיש לאור המוסט לאדום לעבור וגם (כפי שציינת בצדק) הפרשי הזמן בין זמני הפליטה של האור בייחס לכדור הארץ כתוצאה מיחסיות הסימולטניות.

הבילבול שלך בא מבחירה לא נכונה של המרחק והמהירות. כפי שנכתב במאמר, ההבדל בסימולטניות הוא יחסי למרחק בין האירועים ולמהירות היחסית ביו מערכות הייחוס. הפרש הסימולטניות אינו מושפע מהמרחק בין הצופה לאירועים. האישה ברכבת היתה מודדת אותו הפרש זמן בין הברקים גם אם הרכבת הייתה מאה קילומרים רחוק יותר בהמשך המסילה. אז מהי מערכת הייחוס שבה שני האירועים קורים בו זמנית? זו איננה מערכת הייחוס של החומר הנע אלא זו של מרכז הסופרנובה שבייחס אליו חלקי החומר נעים במהירות (גבוהה) שווה בכיוונים נגדיים. מערכת ייחוס זו מתרחקת מכדור הארץ כתוצאה מהתפשטות הייקום.

לפיכך, המרחק שבו עליך להשתמש הוא הוא קוטר הסופרנובה והמהירות היא מהירות ההתרחקות של כל הסופרנובה מכדור הארץ כפי שהיתה בזמן שהסופרנובה התרחשה. אני מניח שאם תציב ערכים אלה במשוואה תקבל הפרש זמנים של ימים.

 

ק. מוסיף:

 

לשם פשטות לא נתחשב בהתפשטות הייקום ונניח שהמהירות הייחסית בין כדור הארץ לסופרנובה היא 0. כמוכן נניח שהתפרצות הסופרנובה יוצרת שתי פיסות חומר שנעות במהירויות v+ ו-v- בייחס לכדור הארץ (ולמרכז הסופרנובה). פיסת החומר הראשונה (שנעה לכיוון כדור הארץ במהירות v+) יוצרת אור מוסט לכחול ופיסת החומר השניה (שמתרחקת מכדור הארץ במהירות V- ) יוצרת אור מוסט לאדום.

ידוע לנו שפליטת האור היא (בקירוב) סימולטנית יחסית לסופרנובה. נראה לי שהיא איננה סימולטנית עבור צופה על פני כדור הארץ, למרות שכדור הארץ נמצא במנוחה יחסית לסופרנובה. זה נכון גם למקרה של פרדוקס התאומים: כאשר אחד התאומים חולף על פני כוכב מרוחק הוא רואה זמנים שונים על הכוכב ועל כדור הארץ למרות שהכוכב נמצא במנוחה יחסית לכדור הארץ.

 

תשובה:

 

המהירות שמציבים בטרנספורמציית לורנץ היא מהירות יחסית בין שתי מערכות ייחוס ולא מהירות של משהו שנע יחסית למערכת הייחוס. עליך להחליט מהי מערכת הייחוס שלך. אם שני אירועים קורים בו זמנית עבור נקודה אחת במערכת ייחוס הם קורים בו זמנית בכל מערכת הייחוס הזאת. אין זה משנה אם הם קורים על עצם במנוחה או בתנועה. יכול להיות בינהם הפרש זמן רק כאשר הם נמדדים במערכת ייחוס שונה. אם שני פולסים של אור נפלטים בו-זמנית יחסית למרכז הסופרנובה וכדור הארץ לא נע בייחס למרכז זה, הם נפלטים בו זמנית גם יחסית לכדור הארץ. אם תרצה, המהירות הייחסית בין מערכות הייחוס היא 0, beta = 0 ו-gamma = 1.

כמו כן, אם שני האירועים קורים באותו המקום בקירוב, הם יקרו סימולטנית עבור כל מערכת ייחוס, לא משנה באיזו מהירות היא נעה. לכן הגורם היחידי להפרש הזמן בהגעת האור לכדור הארץ הוא הקוטר של הסופרנובה.

 

3.

ש. שואל:

 

בזמן סיבוב הפרסה בפרדוקס התאומים עוברות בכדור הארץ 15 שנה מנקודת מבטו של בני. מה קורה אם בני מתחרט, ממשיך את הסיבוב וחוזר למסלולו המקורי? האם הזמן בכדור הארץ נע עבורו לאחור? האם אחיו אודי מרוויח בחזרה 15 שנה, או שאם הזמן הזה כבר עבר אין להשיבו אלא רק להמשיך מהנקודה אליו כבר הגיע?

 

תשובה:

 

כאשר בני מגיע לטראל כפי שמתואר בפרדוקס התאומים ישנן שתי מערכות ייחוס: אחת של החללית ואחת של שני הכוכבים – הארץ וטראל. במערכת של הכוכבים המרחק אל כדור הארץ הוא 8.66 שנות אור והזמן על כדור הארץ הוא 10 שנים אחרי ההמראה. במערכת של החללית המרחק אל כדור הארץ הוא 4.33 שנות אור והזמן עליו הוא 2.5 שנים אחרי ההמראה. אם בני בולם בפתאומיות (עושה חצי מסיבוב הפרסה) הוא עובר למערכת היחוס של הכוכבים ולכן הזמן בכדור הארץ הופך להיות עבורו 10 שנים מההמראה, כלומר 7.5 שנים יותר מאוחר. אם הוא מאיץ שוב מייד וחוזר למהירות המקורית שלו, הוא חוזר למערכת היחוס הקודמת (למעשה מעט אחורה בציר הזמן בשל הזמן שלקח לו לבלום ולהאיץ, אבל ההפרש הזה זניח), ולכן שוב הזמן בכדור הארץ הוא רק 2.5 שנים אחרי ההמראה. לכאורה אחיו "הרוויח בחזרה" 7.5 שנים. למעשה 7.5 השנים האלה לא באמת עוברות, לא קדימה ולא אחורה. מה שמשתנה הוא רק המושג שבני קורא לו "עכשיו". הוא שונה בשתי מערכות הייחוס.

תאר לעצמך אדם שעומד בלב יער ומגדיר לעצמו מערכת צירים. לקו שעובר בכיוון שמאל-ימין יחסית אליו הוא קורא x ולקו שכיוונו אחורה-קדימה הוא קורא y. לכל העצים שנמצאים בדיוק משמאלו או מימינו יהיה ערך y=0, לעצים שנמצאים לפני קו זה יחסית למצב עמידתו יהיו ערכי y חיוביים ולעצים שמאחורי קו זה יהיו ערכי y שליליים. אם עכשיו הוא מסתובב מעט שמאלה וקובע מערכת x,y חדשה לפי מצב עמידתו החדש, כל העצים שמשמאלו יקבלו ערכי y גדולים יותר והעצים שמימינו יקבלו ערכי y נמוכים יותר. ברור שלא העצים ולא האיש לא נעו באף אחד מהצירים. השינוי בערכי ה-y נובע רק משינוי מערכת הצירים.

בתורת היחסות גם הזמן הוא ציר בחלל-זמן. כאשר בני עובר ממערכת יחוס אחת לשנייה הקו שהוא קורא לו "עכשיו" משתנה כפי שהשתנה הקו y=0 כשהאיש שינה את מערכת הצירים. הקו "עכשיו" עובר דרך רצף אחר של אירועים בחלל-זמן בכל אחת ממערכות היחוס. אודי לא "מרוויח" שנים כאשר בני מאיץ שוב, כפי שהעצים לא ינועו חזרה לאחור אם האיש יסתובב חזרה למצבו המקורי.

חוקי הטבע דואגים גם שבני לא יוכל להבחין בשינוי הזה. אותות שיוצאים מכדור הארץ במהירות האור יגיעו אליו תמיד בסדר שבו הם יצאו. אם יש לו טלסקופ שמכוון אל כדור הארץ הוא יראה תמיד את האירועים שם קורים קדימה בזמן. הוא עשוי לראות אותם בהילוך איטי או בהילוך מהיר, אבל לעולם לא בהילוך לאחור.

4.

מ. שואל:

 

אני מנסה להבין מה קורה כאשר גוף ארוך מאוד מאיץ. בהסבר לפרדוקס התאומים הנחנו שבסיום התאוצה החללית נמצאת ביחס לכדור הארץ באותו המקום ובאותו הזמן בקירוב כפי שהיתה לפני התאוצה. זה היה טוב עבור גוף נקודתי שמאיץ. אבל אם נניח שחללית ארוכה מאוד מאיצה כמקשה אחת לא נוכל להניח הנחה דומה לגבי שני הקצוות שלה. בסיום התאוצה, אם מסתכלים ממערכת הייחוס המקורית, יהיה הפרש זמנים בין שני קצוות החללית ואורכה של החללית יהיה קצר מאורכה לפני התאוצה. אם נשים שורה של שעונים במרחקים קבועים על החללית ומול כל אחד מהם שעון על תחנת החלל האינרטית שעליה היא עוגנת, בסיום התאוצה המרחק בין השעונים שעל החללית כפי שהוא נצפה מהתחנה יהיה קצר מהמרחק בין השעונים שעל התחנה. אם שתי המערכות ארוכות מספיק, חייב אחד השעונים להיות בקירוב מול השעון שהיה מולו לפני התאוצה. איך נקבע איזה מן השעונים הוא זה? איזה הבדל יש בין הנקודות השונות? כמו כן הפרש הזמנים בין שעון שנמצא על הקרקע ובין שעון שנמצא מולו על החללית שונה מנקודה לנקודה. שוב, איך נקבע איזה הפרש זמנים יהיה באיזו נקודה?

נראה לי שיש כאן שתי דרגות חופש שאינן מוגדרות למרות שבמציאות חייב להיות מצבה של החללית אחרי התאוצה מוגדר חד משמעית.

 

תשובה:

 

על פי תורת היחסות בזמן תאוצה קורים כמה דברים משונים. בזמן התאוצה הזמן לא חולף בקצב שווה בכל החללית. ככל שהשעונים קרובים יותר לחלק הקדמי של החללית הם ינועו מהר יותר ביחס לשעונים שבחלקה האחורי. כאשר החללית תסיים את התאוצה ותחזור להיות אינרטית, השעונים לא יהיו מסונכרנים במערכת הייחוס החדשה. השעונים האחוריים יפגרו אחרי אלה שמלפנים. לפיכך אין אפשרות לדבר על הזמן שחלף בתוך החללית עד לסיום התאוצה. בכל נקודה לאורך החללית חלף זמן שונה. אם אנחנו רוצים לסנכרן את השעונים מחדש, נוכל לבחור כרצוננו לפי איזה שעון לעשות זאת. לכאורה יש כאן דרגת חופש אבל היא רק לגבי קביעת הראשית של מערכת יחוס אחת ביחס למערכת אחרת.

ומה בעניין המרחקים? במבט מן המערכת של תחנת החלל כל הנקודות של החללית מתחילות להאיץ בו זמנית. אולם במערכת זו התאוצה איננה קבועה. בשל חוסר הלינאריות של צירוף המהירויות, התאוצה הולכת וקטנה עם הזמן. בנוסף לכך במערכת הייחוס של החללית כל הנקודות פוסקות להאיץ בו זמנית. אבל מערכת הייחוס שבה זה קורה נעה ביחס למערכת הייחוס של התחנה ולכן במערכת של התחנה הפסקת התאוצה לא תקרה בו-זמנית בכל הנקודות. נקודות אחוריות יותר יחדלו להאיץ לפני נקודות שקרובות יותר לחלק הקדמי. במבט ממערכת התחנה, התאוצה מסתיימת כאשר הנקודה הקדמית ביותר בחללית חדלה להאיץ. מכיוון שכל הנקודות מגיעות בסופו של דבר לאותה מהירות, הרי שהנקודות האחוריות האיצו בתאוצה גדולה יותר (הן הגיעו למהירות הסופית מהר יותר) ומכאן שעשו גם דרך ארוכה יותר. לכן, בסיום התאוצה כל הנקודות שעל החללית יהיו מוסטות מהנקודות שהיו מולן בתחילת התאוצה לכיוון תנועת החללית. הנקודה הקדמית ביותר תהיה הכי קרובה לנקודה שהייתה מולה בתחילה. ככל שנתקרב לאחורי החללית המרחק שהנקודות עברו יהיה גדול יותר. המרחק בין כל שתי נקודות לאורך החללית יהיה קטן מהמרחק של הנקודות המקבילות על התחנה (כל זאת כמובן במבט מהתחנה) וזוהי הצטמצמות האורכים המצופה.

5.

מ. שואל:

 

אני מנסה למצוא נוסחה עבור התנגשות אלסטית ביחסות. אני יודע שהתנע הכולל והאנרגיה הכוללת נשמרים בהתנגשות אלסטית, אבל אני לא מצליח לפתור את המשוואות עבור המהירויות אחרי ההתנגשות כפי שעושים במכניקה קלאסית.

 

תשובה:

 

התשובה ארוכה מדי עבור הדף הזה ולכן שמתי אותה כאן.